原题

题目

如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为 $l$ 、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为 $\alpha$ 。条形匀强磁场的宽度为 $d$ ，磁感应强度大小为 $B$ 、方向与导轨平面垂直。长度为 $2d$ 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起，总质量为 $m$ ，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为 $I$ 的电流。线框的变长为 $d$ （$latex d < l$），电阻为$latex R$，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为$latex g$。求：

（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热 $Q$ ；

（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间 $t_1$ ；

（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离 $x_{\mbox{m}}$ 。

解答

（1）开始释放时和开始返回时，导体棒和线框都是静止的。在这个过程中，势能减少，而动能未增加。减少的势能有两个去处。第一，在线框中发热，热量为 $Q$ 。第二，克服导体棒做功。由于导体棒中通恒定电流，所受力也大小不变。所以，有如下等式：

$\Delta E =4d\cdot m\,g\sin\alpha = Q + IlB\cdot d$

所以，线框中产生的焦耳热为： $Q =4d\cdot m\,g\sin\alpha - IlB\cdot d$

（2）设线框刚离开磁场时的速度为 $V$ 。考虑从释放到线框刚离开磁场是的动量变化。开始释放时，线框动量为 $0$ ，离开磁场时，动量为 $mV$ 。在这个过程中，一共有两个力产生冲量。一个是重力，大小固定，作用时间为 $t_1$ 。另一个是磁场力，其冲量只与切割磁感线的面积有关。线框进入磁场后又离开，其切割磁感线的面积变化为 $2d^2$ 。所以，有如下关系：

$mV = mg\sin\alpha\cdot t_1 - 2d^2\cdot B$

整理得：

$t_1 = \frac{2d^2\cdot B + mV}{mg\sin\alpha}$

末速 $V$ 可以通过能量守恒求得。在从释放到线框离开磁场的过程中，势能减少，转变为热能 $Q$ 和动能。所以：

$2d\cdot mg\sin\alpha = Q + \frac{1}{2}mV^2$

带入 $Q$ 值：

$\frac{1}{2}mV^2 = IlB\cdot d - 2d\cdot mg\sin\alpha$

整理得：

$V = \sqrt{\frac{2IlB\cdot d}{m}-4d\cdot g\sin\alpha}$

所以， $t_1$ 的值为：

$\frac{2d^2\cdot B\, +\, m\sqrt{\frac{2IlB\cdot d}{m}-4d\cdot g\sin\alpha}}{mg\sin\alpha}$

（3）在导体棒刚进入磁场到导体棒刚要开始返回的过程中，势能和动能的减少，都用来克服磁场力做功。这也说明，在导体棒返回的过程中，损失的动能和势能都会恢复。只是运动的方向发生变化。而动能足以使得线框再次进入磁场，这是因为，线框首次离开磁场时有速度，而此后没有能量损失，所以，线框可以反向运动到磁场内。而线框一旦进入磁场，就会损失能量。这个损失的能量会带来如下的变化。第一，导体棒再次向下运动时，不会再运动到磁场下边界，因为总能量减少。第二，线框向上进入磁场的距离也会减少，也是因为能量减少。如此反复，足够长时间后，线框恰好不再进入磁场。而导体棒，则在磁场上部往复运动。这时，当导体棒在磁场中速度减为 $0$ 时，就是线框上边与磁场区域下边界的最大距离。若此时，导体棒距磁场上边界距离为 $s$ ，则 $x_m = d + s$ 。导体棒向上运动的极限是线框刚好进入不到磁场中。这两个状态，磁场力做的功，全部转化为势能，因此有：

$IlB\cdot s = (d + s)\cdot mg\sin\alpha$

因此：

$s = \frac{d\cdot mg\sin\alpha}{IlB - mg\sin\alpha}$

所以：

$x_m = d + s = d + \frac{d\cdot mg\sin\alpha}{IlB - mg\sin\alpha}=\frac{IlB\cdot d}{IlB - mg\sin\alpha}$

点评

总体上讲，这是一道中等难度的高考物理电磁学大题。难度中等是因为所涉及的知识面较广，但都是以基本的应用为主。考察的是综合使用各种知识的能力，特别是能量转化和守恒的使用尤为重要。题目设计比较合理，特别是三个问题的顺序很恰当。后面的问题需要使用到前面的结论，问题的难度逐渐加大。最后一问考察学生在不能进行计算的情况下，对物理过程的整体理解能力。此外，题目中含有迷惑量，即电阻 $R$ 。总体上讲，这是一道设计得很合理到位的高考题。