小虫子与太空旅行

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(此题为我个人的数学问题集的第一个问题。我的数学问题集中的每一道题，都有一份精美的pdf文档，是用LaTeX生成的，因此，将其复制到这里后，数学部分仍保留TeX格式，正文有所修改。本文pdf文件点击这里。)

问题：a bug on a string
20040930001
1. 问题描述

有一条长为1m的绳子，其一端有一只小虫。小虫以恒定的对地速度1cm/s向绳子的另一端爬行。小虫所在的绳子的一端对地静止，另一端以对地速度10cm/s拉伸。整个绳子的各个位置上，都均匀伸展。小虫的爬行和绳子的拉伸是同时开始的。试问：

(1) 小虫子会到达绳子的另一端么？
(2) 如果你认为上一个问题的答案是肯定的，那么请计算出小虫爬到另一端的时间。

2. 分析

首选要明确的是：小虫的对地速度(v)应为其所在处的绳子的速度(w)与1cm/s之和。这样小虫会越走越快，有可能到达另一端。

小虫所在处的绳子的速度与该处到起点距离(x)和总绳长的比有关，设此时距开始t秒：

w=\frac{x}{100+10t}\times 10      (1)

这样一来小虫的速度v就可以表示为：

v=w+1=\frac{x}{10+t}+1      (2)

这个表达式一出来，剩下的就是解方程了。我们知道，当小虫到达另一端时，其速度应为11cm/s。于是有：

10=\frac{x_{\text{end}}}{10+t_{\text{end}}}

我们得用v={dx}/{dt}对式(2)进行整理：

\frac{dx}{dt}(10+t)=x+10+t

两边对t求导：

\frac{d^2x}{dt^2}(10+t)+\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dt}+1

此式即可化为一个很简单的微分方程：

\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{1}{10+t}

两边对t积分，即可得出v-t之间的表达式：

v=\ln(10+t)+C

由于t=0时v=1，可以确定常数C=1-\ln(10)。于是：

v=\ln(1+\frac{t}{10})+1

考虑终点的情况v_{\text{end}}=11，有：

10=\ln(1+\frac{t_{\text{end}}}{10})

因此，用时为10~(\mathrm{e}^{10}-1)\approx220255(\text{s})\approx61(\text{h})。

将此式代入式(2)可得：

x_{\text{end}}=100(1+\frac{t_{\text{end}}}{10})=100~\mathrm{e}^{10}\approx2202647(\text{cm})\approx22(\text{km})

3. 由此及彼

此题的计算对于一个学习过高等数学的人来说，不是一件很困难的事情。然而，如果你仔细回想小虫子爬行的整个过程，是不是和宇宙膨胀很类似呢？宇宙膨胀的事实，是通过观察天体，发现所有的天体都在远离地球而确定的。当我们站在这道题目中所说的绳子运动的一端时，我们会发现，在开始后的一段时间里，绳子上的每一个点以及小虫都在远离我们。而最后的一段时间里，绳子上的所有点仍旧在远离端点，而小虫却在靠近我们。我们可以计算一下小虫相对我们静止时的时间t\approx81021(\text{s})\approx22(\text{h})。这也就是说，小虫有将近65%的时间是在靠近我们。

上面的描述不就是对太空旅行的一个很好的模拟么？可以想像，若一个恒星以光速远离我们，我们若用十分之一的光速向其行进，那么在开始的三分之一的时间里，我们看到的却是恒星继续远离我们。如果我们发现恒星相对我们已经基本静止，那就说明我们还需要两倍的时间才能达到。当然，这里的讨论没有涉及相对论，也许深入下去的讨论会更有意思。

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