分类目录归档：数学的精神

迟来的证明

发表于由
回复

高中的时候，自己写过一个画函数图像的程序。使用的编程语言是Delphi。那时，发现了一个有意思的函数：f(x)=\sin (x\cdot\sin (x))。这个函数的图像大致如下（本文图像由Maxima-online制作）：

funcplot0

细心的话，你会发现，这个函数的波谷，沿着横轴的方向，在一个长度固定的区间内，逐渐变多。从1开始，次第地增加1个。这是一个很有意思的现象。我尝试着去证明，甚至打算使用当时就熟悉的微积分。可是未果。后来上了大学，有了高等数学这门课。这门课还有一个专门的习题课。我问过习题课的老师。她说应该不是很难。可也没有给我一个结果。所以，证明一事就放下了。

最近，总有一种感觉。那就是，过去以为很神秘的东西，其实一点都不神秘。只是自己没有足够用心罢了。不少事情已经说明了这一点。于是，我又想起了这个题目。觉得可以再次尝试一下。大约花了不到半天的时间，才发现，这其实是一个非常简单的证明。这个证明是如此简单，以至于文字的说明都有些多余。看图说话吧。

funcplot

此事再一次说明，过去的经历中所“培养”出的神秘感和局限感，是多么的愚昧。一时竟无语。

来自小学的“阴影”

发表于由
1

作者按：这是一个微博上转来的题。说是小学数学题，似乎不太可能。这里给算一算。和其他的问题一样，这道题主要是练习使用Maxima。另，本文章的标题是别有意思的。

题目：来自小学的“阴影”

一个正方形，两条曲线。一个是半圆弧，一个是1/4圆弧。求区域a的面积。

首先，先把图像转一下，方便建立坐标系。

为了描述方便，令a为正方形边长的一半。计算时先带着a，最后代入a = 10。

先输入下面半圆的方程。

(%i1) eq1: (x-a)^2+y^2=a^2;

(%o1) y^2+(x-a)^2=a^2

再输入1/4圆弧的方程。

(%i2) eq2: x^2+(y-2*a)^2=4*a^2;

(%o2) (y-2a)^2+x^2=4a^2

求两个圆弧的交点。

(%i3) solve([eq1, eq2], [x, y]);

(%o3) [[x=\frac{8a}{5}, y=\frac{4a}{5}], [x = 0, y = 0]]

阴影的面积是对半圆弧的积分，减去1/4圆弧曲线的积分。分别求两段曲线的表达式并积分。先求半圆弧的。

(%i4) solve(eq1, y);

(%o4) [y=-\sqrt{2ax-x^2}, y=\sqrt{2ax-x^2}]

显然，半圆弧位于x轴上方，所以，对第二个解积分。积分区间是[0, \frac{8a}{5}]。

(%i5) integrate(rhs(%[2]), x, 0, 8*a/5);
Is  a  positive, negative, or zero? pos;

(%o5) \frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}

下面求1/4圆弧的表达式。

(%i6) solve(eq2, y);

(%o6) [y=2a-\sqrt{4ax-x^2}, y=\sqrt{4ax-x^2}+2a]

显然，y是位于2a这条直线下方。所以，对第一个解积分。积分区间同上。

(%i7) integrate(rhs(%[1]), x, 0, 8*a/5);
Is  a  positive, negative, or zero? pos;

(%o7) -\frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}

现在求面积差，也就是阴影面积表达式。

(%i8) %o5 – %o7

(%o8) \frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}+\frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}

把a=10代入。

(%i9) a:10;

(%o9) 10

(%i10) ''%o8;

(%o10) 4(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)+2(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)+25\pi

化简结果。

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 200\arcsin(\frac{4}{5})+50\arcsin(\frac{3}{5})+25\pi-200

上式就是计算结果，最后求其实数值。

(%i12) float(%);

(%o12) 96.17391537973153

上式和微博中给出的结果是一致的，只是出现了反三角函数，应该不是小学生能解出来的。所以最合理的答案，已经在最初的微博中给出。原图见下。

物理习题之 1

发表于由
回复

问题 1：蜗牛相向行

三只小蜗牛所在的位置形成一个等边三角形，三角形的边长为60cm。第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min。在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标。经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬过了多长的路程？它们经过的路线可以用怎样的方程来描述？若将蜗牛视为质点，那么在它们相遇前，绕着它们的最终相遇点转了多少圈？

解答：这个题打算使用向量分析来做，因为最近在看微分几何的基础部分。当然，二维的向量分析如果使用标准的向量，便有点杀鸡焉用牛刀的感觉。根据题目的条件，显然坐标选择用极坐标为益，那么向量表示方法也自然用复数最方便。我们将需要用到的向量（用黑体表示）{\bf r} 和{\bf v}，画如下图。

首先，对于速度向量{\bf v} = \frac{d\bf r}{dt}有{\bf v}^2 = 25 。当然，如果考虑到是用复数表示的向量速度，那么{\bf v}^2 = {\bf v} \cdot {\bar{\bf v}}（\bar{\bf v}表示\bf v的共轭复数）。

如果用普通的r表示向量\bf r的径向长，那么关于其导数，有如下关系：

{\bf v} = \frac{d{\bf r}}{dt} = \frac{d(re^{i\theta})}{dt}=\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt}

其模的平方为常数：

{\bf v}^2=\frac{d(re^{i\theta})}{dt}\frac{d({r}e^{-i\theta})}{dt}=(\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt})(\frac{dr}{dt}e^{-i\theta}-ire^{-i\theta}\frac{d\theta}{dt})

即

\frac{dr^2}{dt^2}+r^2\frac{d\theta^2}{dt^2}={\bf v}^2=25

上式是一个数学上的结果，物理上其实非常简单，就是把速度分解成径向和切向两个方向，其向量和为速度。在本题中，为定值。

下面利用向量\bf v和\bf r的角度是定值这一条件：

{\bf v}\cdot{\bar{\bf r}}=(dre^{i\theta}+ire^{i\theta}d\theta)(re^{-i\theta})=rdr+ir^2\theta

两个向量的夹角为定值，暂记其为K：

\tan(\frac{5\pi}{6})=\frac{r^2\theta}{rdr}=\frac{rd\theta}{dr}=-\frac{\sqrt 3}{3}=K

代上式入模方一式，得dt和dr的关系式：

(1+K^2)\frac{dr^2}{dt^2}={\bf v}^2

注意$latex dr<0$，整理得：

dt=-\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}

最后，积分。r的初值为等边三角形的顶点到中心的距离R（记a为三角形边长）。

R=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a

现在求t：

t = \int^0_R -\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}=\frac{\sqrt{1+K^2}}{\sqrt{{\bf v}^2}}[-r]^0_R=\frac{\sqrt{\frac{4}{3}}}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{2}{15}a=8

每个蜗牛爬过的路程为：5 \times 8 = 40cm。

根据固定夹角的方程，可以求出极坐标下的曲线方程。整理如下方程并积分。

d\theta=K\frac{dr}{r}

\theta=K\ln r + C

当\theta = 0时，r = R，因此：

\theta=K\ln {(r/R)}

整理成熟悉的形式：

r=Re^{-\sqrt{3}\theta}

由上面两式均可以得知，当蜗牛相遇时，已经转过无穷多的角度了。

物理习题

发表于由
回复
《200道物理学难题》的封面

《200道物理学难题》的封面

手里有一本叫做《200道物理学难题》的书（豆瓣链接），一直没看几页。现在拿出来，做一做，也记一记。除了做题练习的目的，也有使用新学的数学物理知识的目的。所以题解里除了结论之外，更多的是用现在正感兴趣的知识或方法解题的说明。

逻辑与理性（四）

发表于由
回复

现在是时间讨论一下年青人和门后的老虎这个问题了。

很多人认为这不是一个悖论。我不想说服谁，我在这里把这个问题做一个变形，以使得其看上去更想是一个悖论。当然，我自信我的变形使得变形后的问题有原问题是同一个问题。我给出的是一个命题和证明的形式。

　　命题
　　已知：有5个门，其中有且只有一个门后有一只老虎。请顺次打开5个门。
　　求证：在打开有老虎的那个门之前，你是可以知道那里面有老虎的。

　　证明：使用反证法。假设我无法知道里面有老虎。
　　如果老虎在第5个门内，那么我会在打开前4个门后判断出老虎在第5个门之中。那么与假设矛盾。所以老虎不会在第5个门中。
　　如果老虎在第4个门内，那么，当我打开前3个门后我会想，老虎是不会在第5个门中，所以我就知道一定在第4个门内，这也矛盾了。
　　其他各个门的情况都一个，即老虎不在任何一个门后。这与已知矛盾。
　　由此可以证明你是可以预知老虎是否在你要打开的那个门后。

这个命题和证明看上去都没有什么问题，但它的结论和我们的常识严重相悖。

很多人会为这是否是个悖论而急论，也有很多人为解决这个悖论而苦恼。无论怎样，这都是一个有意思的题目。我个人更倾向于这是逻辑自身的问题，即使有很多人会认为这是自然语言的不完善造成的。正如我开篇说到的那样，理性是逻辑的存在方式。对逻辑的反思就是对理性的理性思考。

逻辑的悖论会给人们带来痛苦，驾驭它的一定不是理性本身。

（希望在找到合适的话题后，能够继续讨论。）