作者按:这是一个微博上转来的题。说是小学数学题,似乎不太可能。这里给算一算。和其他的问题一样,这道题主要是练习使用Maxima。另,本文章的标题是别有意思的。
题目:来自小学的“阴影”
一个正方形,两条曲线。一个是半圆弧,一个是1/4圆弧。求区域a的面积。
首先,先把图像转一下,方便建立坐标系。

为了描述方便,令
为正方形边长的一半。计算时先带着
,最后代入
。
先输入下面半圆的方程。
(%i1) eq1: (x-a)^2+y^2=a^2;
(%o1) 
再输入1/4圆弧的方程。
(%i2) eq2: x^2+(y-2*a)^2=4*a^2;
(%o2) 
求两个圆弧的交点。
(%i3) solve([eq1, eq2], [x, y]);
(%o3) ![[[x=\frac{8a}{5}, y=\frac{4a}{5}], [x = 0, y = 0]]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B%5Bx%3D%5Cfrac%7B8a%7D%7B5%7D%2C+y%3D%5Cfrac%7B4a%7D%7B5%7D%5D%2C+%5Bx+%3D+0%2C+y+%3D+0%5D%5D&bg=ffffff&fg=000&s=1&c=20201002)
阴影的面积是对半圆弧的积分,减去1/4圆弧曲线的积分。分别求两段曲线的表达式并积分。先求半圆弧的。
(%i4) solve(eq1, y);
(%o4) ![[y=-\sqrt{2ax-x^2}, y=\sqrt{2ax-x^2}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5By%3D-%5Csqrt%7B2ax-x%5E2%7D%2C+y%3D%5Csqrt%7B2ax-x%5E2%7D%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
显然,半圆弧位于x轴上方,所以,对第二个解积分。积分区间是
。
(%i5) integrate(rhs(%[2]), x, 0, 8*a/5);
Is a positive, negative, or zero? pos;
(%o5) 
下面求1/4圆弧的表达式。
(%i6) solve(eq2, y);
(%o6) ![[y=2a-\sqrt{4ax-x^2}, y=\sqrt{4ax-x^2}+2a]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5By%3D2a-%5Csqrt%7B4ax-x%5E2%7D%2C+y%3D%5Csqrt%7B4ax-x%5E2%7D%2B2a%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
显然,y是位于2a这条直线下方。所以,对第一个解积分。积分区间同上。
(%i7) integrate(rhs(%[1]), x, 0, 8*a/5);
Is a positive, negative, or zero? pos;
(%o7) 
现在求面积差,也就是阴影面积表达式。
(%i8) %o5 – %o7
(%o8) 
把
代入。
(%i9) a:10;
(%o9) 
(%i10) ''%o8;
(%o10) 
化简结果。
(%i11) ratsimp(%);
(%o11) 
上式就是计算结果,最后求其实数值。
(%i12) float(%);
(%o12) 
上式和微博中给出的结果是一致的,只是出现了反三角函数,应该不是小学生能解出来的。所以最合理的答案,已经在最初的微博中给出。原图见下。
