物理习题之 1

问题 1：蜗牛相向行

三只小蜗牛所在的位置形成一个等边三角形，三角形的边长为60cm。第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min。在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标。经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬过了多长的路程？它们经过的路线可以用怎样的方程来描述？若将蜗牛视为质点，那么在它们相遇前，绕着它们的最终相遇点转了多少圈？

解答：这个题打算使用向量分析来做，因为最近在看微分几何的基础部分。当然，二维的向量分析如果使用标准的向量，便有点杀鸡焉用牛刀的感觉。根据题目的条件，显然坐标选择用极坐标为益，那么向量表示方法也自然用复数最方便。我们将需要用到的向量（用黑体表示） ${\bf r}$ 和 ${\bf v}$ ，画如下图。

首先，对于速度向量 ${\bf v} = \frac{d\bf r}{dt}$ 有 ${\bf v}^2 = 25$ 。当然，如果考虑到是用复数表示的向量速度，那么 ${\bf v}^2 = {\bf v} \cdot {\bar{\bf v}}$ （ $\bar{\bf v}$ 表示 $\bf v$ 的共轭复数）。

如果用普通的 $r$ 表示向量 $\bf r$ 的径向长，那么关于其导数，有如下关系：

${\bf v} = \frac{d{\bf r}}{dt} = \frac{d(re^{i\theta})}{dt}=\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt}$

其模的平方为常数：

${\bf v}^2=\frac{d(re^{i\theta})}{dt}\frac{d({r}e^{-i\theta})}{dt}=(\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt})(\frac{dr}{dt}e^{-i\theta}-ire^{-i\theta}\frac{d\theta}{dt})$

即

$\frac{dr^2}{dt^2}+r^2\frac{d\theta^2}{dt^2}={\bf v}^2=25$

上式是一个数学上的结果，物理上其实非常简单，就是把速度分解成径向和切向两个方向，其向量和为速度。在本题中，为定值。

下面利用向量 $\bf v$ 和 $\bf r$ 的角度是定值这一条件：

${\bf v}\cdot{\bar{\bf r}}=(dre^{i\theta}+ire^{i\theta}d\theta)(re^{-i\theta})=rdr+ir^2\theta$

两个向量的夹角为定值，暂记其为 $K$ ：

$\tan(\frac{5\pi}{6})=\frac{r^2\theta}{rdr}=\frac{rd\theta}{dr}=-\frac{\sqrt 3}{3}=K$

代上式入模方一式，得 $dt$ 和 $dr$ 的关系式：

$(1+K^2)\frac{dr^2}{dt^2}={\bf v}^2$

注意$latex dr<0$，整理得：

$dt=-\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}$

最后，积分。 $r$ 的初值为等边三角形的顶点到中心的距离 $R$ （记 $a$ 为三角形边长）。

$R=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

现在求 $t$ ：

$t = \int^0_R -\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}=\frac{\sqrt{1+K^2}}{\sqrt{{\bf v}^2}}[-r]^0_R=\frac{\sqrt{\frac{4}{3}}}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{2}{15}a=8$