来自小学的“阴影”

作者按：这是一个微博上转来的题。说是小学数学题，似乎不太可能。这里给算一算。和其他的问题一样，这道题主要是练习使用Maxima。另，本文章的标题是别有意思的。

题目：来自小学的“阴影”

一个正方形，两条曲线。一个是半圆弧，一个是1/4圆弧。求区域a的面积。

首先，先把图像转一下，方便建立坐标系。

为了描述方便，令 $a$ 为正方形边长的一半。计算时先带着 $a$ ，最后代入 $a = 10$ 。

先输入下面半圆的方程。

(%i1) eq1: (x-a)^2+y^2=a^2;

(%o1) $y^2+(x-a)^2=a^2$

再输入1/4圆弧的方程。

(%i2) eq2: x^2+(y-2*a)^2=4*a^2;

(%o2) $(y-2a)^2+x^2=4a^2$

求两个圆弧的交点。

(%i3) solve([eq1, eq2], [x, y]);

(%o3) $[[x=\frac{8a}{5}, y=\frac{4a}{5}], [x = 0, y = 0]]$

阴影的面积是对半圆弧的积分，减去1/4圆弧曲线的积分。分别求两段曲线的表达式并积分。先求半圆弧的。

(%i4) solve(eq1, y);

(%o4) $[y=-\sqrt{2ax-x^2}, y=\sqrt{2ax-x^2}]$

显然，半圆弧位于x轴上方，所以，对第二个解积分。积分区间是 $[0, \frac{8a}{5}]$ 。

(%i5) integrate(rhs(%[2]), x, 0, 8*a/5);
Is a positive, negative, or zero? pos;

(%o5) $\frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}$

下面求1/4圆弧的表达式。

(%i6) solve(eq2, y);

(%o6) $[y=2a-\sqrt{4ax-x^2}, y=\sqrt{4ax-x^2}+2a]$

显然，y是位于2a这条直线下方。所以，对第一个解积分。积分区间同上。

(%i7) integrate(rhs(%[1]), x, 0, 8*a/5);
Is a positive, negative, or zero? pos;

(%o7) $-\frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}$

现在求面积差，也就是阴影面积表达式。

(%i8) %o5 – %o7

(%o8) $\frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}+\frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}$

把 $a=10$ 代入。

(%i9) a:10;

(%o9) $10$

(%i10) ''%o8;

(%o10) $4(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)+2(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)+25\pi$

化简结果。

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) $200\arcsin(\frac{4}{5})+50\arcsin(\frac{3}{5})+25\pi-200$

上式就是计算结果，最后求其实数值。

(%i12) float(%);

(%o12) $96.17391537973153$

上式和微博中给出的结果是一致的，只是出现了反三角函数，应该不是小学生能解出来的。所以最合理的答案，已经在最初的微博中给出。原图见下。

无饰生非