W女生和L男生

这篇文章写回忆,而且回忆得挺久远的。W女生是我小学时的同学,算起来已经是20年前的事了。20年,对于一个刚刚30的人来讲,不能不说是久远了。

先说W女生吧。其实在过去的绝大多数时间里,我已经完全把W女生忘记了。只是去年的某一天,突然想了起来——哦,对了,小学时还有过这么一位同学。W女生是从小学入学时便在同一个班的。但伊却明显与其他女生不一样。一般小学女生的衣服和文具都比较整齐,可伊却比男生更凌乱。然而,把伊和其他同学区别开的,却是一段意外的插曲。大约是二年级的时候,我父母给我买了个小型掌上游戏机。那时的我偏好人前显摆,于是便上演了一出《祸起观音院》。就在我把游戏机拿到学校显摆的当天,便发现之前在同学间传着玩的游戏机不见了。游戏机对小孩子来讲,大概是仅次于考试成绩的大事了。自然告诉了班主任。班主任也真把这件事当成了一件重要的事情,查看了班里每个学生。最后,在W女生的手套里找到了。事后,老师免不了把我父母叫到学校,大约也是说以后不要让孩子把这样的东西带到学校之类的话。而对于当事者的我,自然从此对W女生另眼相看。然而这并不是我后来又想起伊时想到的事。其实头脑中最清晰的影像是这样的:几个男生围在W女生的书桌边,有的去推伊,有的把伊的书包拿出来,有的把书倒在地上,有的把本来就脏兮兮书包也扔在了地上。面对众人的欺负和嘲笑,W女生也并不示弱,适时给予还击。但可想而知,一个略显营养不良的女生,面对三、四个男生的围攻,无论什么样的反击,都会显得那么若有似无的。做为旁观者的我,没有什么作为,大约只是希望上课铃响起,便可以暂时地让双方休战。如果没有记错的话,这场景发生在小学四年级。此后,W女生似乎是转学到别的学校了的。但这一点,我已经记不清了。

多年后,再想起这些,惊讶于自己并没有对W女生有任何坏的印象,但更惊讶于自己年幼时的麻木。每每想起,沉默良久。

现在说说L男生。他是我初中的同学,体型比我略胖,想是我当时沾了些身高的优势吧。其实我和L男生接触不多,只是知道他成绩不太好,大家喜欢拿他开玩笑。印象中,班里的同学基本上都不太喜欢他。我和L男生有过一次让我印象深刻的接触。那时不知道为什么,我们俩做过一段时间的同桌。那是一节代数课,老师好像是要检查数学用表是否带了。L男生显然没有带,他想等老师从我身边查过后,把我的数学用表放到自己的桌子上。我当时应该是没有同意,于是他被老师抓到。等他被老师教育了以后,坐下来,小声地跟我说:你等着。我那时对他的印象自然坏到了极点。然而,这并不是我要写L男生的原因。我要写L男生,是因为自己在初中那个年纪,竟然很执着于一件事。说出来其实挺好笑的。那时的我,要求自己在看到一个人的好处时,要想到其不足;在看到一个人的不足时,要想到其好处。然而,L男生似乎使我觉得无能为力。时过多年,仍然如此,真到最近,方才释怀。

让我把W女生和L男生叫做记忆的角落吧。我想,没有遗忘的,总是有些原因的罢。

转型在30岁

20多岁的时候,曾经为自己定下了一个30岁的所谓的人生目标。现在看来,自然是个笑话。就像20岁时,一想到上小学时的自己以为分数是天大的事一样。

自己一直以来用微分为比喻,坚持认为人生应该更看重“导数”:一个人当下的“位置”不重要,重要的是变化。每天每时都不断地进步,才是年轻人应该追求的。这个想法,大约是从明白什么是“导数”后不久就有了吧。到了今天,刚刚过了30岁的生日不久,忽然觉得是时候转型了。

人到30了,是时候从微分转到积分了。前30年的打拼,眼睛看到的都是向前,向上,更高,更强。上升得不算慢了,但回过头来看,却没有积累下什么。一路上,像所有的年轻人一样,不停地向前跑。得到不少,当然,也难免丢下一些什么。但毕竟总量是增加的,内心便也常是满足的。可这满足,终是见到了头。因为开始觉得自己一直是这世界里的匆匆过客,什么也没留下——即使是为自己。所以不禁要问,为什么呢?

30岁之前,拼命向前跑,那是因为相信速度,那是因为要与他人比,因为只有跑到前头,才觉得是成功。30岁了,不经意间看了一下周围,所以的人其实都差不多,工作,结婚,生子。从生活的角度而言,所有的人也都是有些基础了。是的,有些人还是更快一些,但很难将这种差别叫做成功。跑了,累了,也终于认识到一个人不可能一直跑下去的,个人的力量在这时,算是取到了最值了。于是,开始认识到另外一种力量,一种被年轻人忽视的力量,一种年轻人拥有得最多,却最被忽视的力量——时间。

仔细地想,越想越觉得,时间是一种极大力量。沧海桑田,大概是对这种自然伟力的最浪漫的形容。于是,作为一个人,如果把努力提升速度,变成努力在时间上做积累,那才真是人与人之间巨大差别的根源。年轻时,认为“坚持”是每天都修的功课。现在则认为,“坚持”贵在“坚守”和“持久”。只要对需要做的事情,做到不放弃,不荒废,假以时日,自己必会为之一惊的。

这就是我的转型,从微分的年轻人,到积分的青年人。

来自小学的“阴影”

作者按:这是一个微博上转来的题。说是小学数学题,似乎不太可能。这里给算一算。和其他的问题一样,这道题主要是练习使用Maxima。另,本文章的标题是别有意思的。

题目:来自小学的“阴影”

一个正方形,两条曲线。一个是半圆弧,一个是1/4圆弧。求区域a的面积。

首先,先把图像转一下,方便建立坐标系。

为了描述方便,令a为正方形边长的一半。计算时先带着a,最后代入a = 10

先输入下面半圆的方程。

(%i1) eq1: (x-a)^2+y^2=a^2;

(%o1) y^2+(x-a)^2=a^2

再输入1/4圆弧的方程。

(%i2) eq2: x^2+(y-2*a)^2=4*a^2;

(%o2) (y-2a)^2+x^2=4a^2

求两个圆弧的交点。

(%i3) solve([eq1, eq2], [x, y]);

(%o3) [[x=\frac{8a}{5}, y=\frac{4a}{5}], [x = 0, y = 0]]

阴影的面积是对半圆弧的积分,减去1/4圆弧曲线的积分。分别求两段曲线的表达式并积分。先求半圆弧的。

(%i4) solve(eq1, y);

(%o4) [y=-\sqrt{2ax-x^2}, y=\sqrt{2ax-x^2}]

显然,半圆弧位于x轴上方,所以,对第二个解积分。积分区间是[0, \frac{8a}{5}]

(%i5) integrate(rhs(%[2]), x, 0, 8*a/5);
Is  a  positive, negative, or zero? pos;

(%o5) \frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}

下面求1/4圆弧的表达式。

(%i6) solve(eq2, y);

(%o6) [y=2a-\sqrt{4ax-x^2}, y=\sqrt{4ax-x^2}+2a]

显然,y是位于2a这条直线下方。所以,对第一个解积分。积分区间同上。

(%i7) integrate(rhs(%[1]), x, 0, 8*a/5);
Is  a  positive, negative, or zero? pos;

(%o7) -\frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}

现在求面积差,也就是阴影面积表达式。

(%i8) %o5 – %o7

(%o8) \frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}+\frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}

a=10代入。

(%i9) a:10;

(%o9) 10

(%i10) ''%o8;

(%o10) 4(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)+2(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)+25\pi

化简结果。

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 200\arcsin(\frac{4}{5})+50\arcsin(\frac{3}{5})+25\pi-200

上式就是计算结果,最后求其实数值。

(%i12) float(%);

(%o12) 96.17391537973153

上式和微博中给出的结果是一致的,只是出现了反三角函数,应该不是小学生能解出来的。所以最合理的答案,已经在最初的微博中给出。原图见下。

物理习题之 1

问题 1:蜗牛相向行

三只小蜗牛所在的位置形成一个等边三角形,三角形的边长为60cm。第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去,同时,第二只向第三只爬去,第三只向第一只爬去,每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min。在爬行的过程中,每只蜗牛都始终保持对准自己的目标。经过多长时间蜗牛们会相遇?相遇的时候,它们各自爬过了多长的路程?它们经过的路线可以用怎样的方程来描述?若将蜗牛视为质点,那么在它们相遇前,绕着它们的最终相遇点转了多少圈?


解答:这个题打算使用向量分析来做,因为最近在看微分几何的基础部分。当然,二维的向量分析如果使用标准的向量,便有点杀鸡焉用牛刀的感觉。根据题目的条件,显然坐标选择用极坐标为益,那么向量表示方法也自然用复数最方便。我们将需要用到的向量(用黑体表示){\bf r} {\bf v},画如下图。

首先,对于速度向量{\bf v} = \frac{d\bf r}{dt}{\bf v}^2 = 25 。当然,如果考虑到是用复数表示的向量速度,那么{\bf v}^2 = {\bf v} \cdot {\bar{\bf v}}\bar{\bf v}表示\bf v的共轭复数)。

如果用普通的r表示向量\bf r的径向长,那么关于其导数,有如下关系:

{\bf v} = \frac{d{\bf r}}{dt} = \frac{d(re^{i\theta})}{dt}=\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt}

其模的平方为常数:

{\bf v}^2=\frac{d(re^{i\theta})}{dt}\frac{d({r}e^{-i\theta})}{dt}=(\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt})(\frac{dr}{dt}e^{-i\theta}-ire^{-i\theta}\frac{d\theta}{dt})

\frac{dr^2}{dt^2}+r^2\frac{d\theta^2}{dt^2}={\bf v}^2=25

上式是一个数学上的结果,物理上其实非常简单,就是把速度分解成径向和切向两个方向,其向量和为速度。在本题中,为定值。

下面利用向量\bf v\bf r的角度是定值这一条件:

{\bf v}\cdot{\bar{\bf r}}=(dre^{i\theta}+ire^{i\theta}d\theta)(re^{-i\theta})=rdr+ir^2\theta

两个向量的夹角为定值,暂记其为K

\tan(\frac{5\pi}{6})=\frac{r^2\theta}{rdr}=\frac{rd\theta}{dr}=-\frac{\sqrt 3}{3}=K

代上式入模方一式,得dtdr的关系式:

(1+K^2)\frac{dr^2}{dt^2}={\bf v}^2

注意$latex dr<0$,整理得:

dt=-\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}

最后,积分。r的初值为等边三角形的顶点到中心的距离R(记a为三角形边长)。

R=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a

现在求t

t = \int^0_R -\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}=\frac{\sqrt{1+K^2}}{\sqrt{{\bf v}^2}}[-r]^0_R=\frac{\sqrt{\frac{4}{3}}}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{2}{15}a=8

每个蜗牛爬过的路程为:5 \times 8 = 40cm。

根据固定夹角的方程,可以求出极坐标下的曲线方程。整理如下方程并积分。

d\theta=K\frac{dr}{r}

\theta=K\ln r + C

\theta = 0时,r = R,因此:

\theta=K\ln {(r/R)}

整理成熟悉的形式:

r=Re^{-\sqrt{3}\theta}

由上面两式均可以得知,当蜗牛相遇时,已经转过无穷多的角度了。

物理习题

《200道物理学难题》的封面

《200道物理学难题》的封面

手里有一本叫做《200道物理学难题》的书(豆瓣链接),一直没看几页。现在拿出来,做一做,也记一记。除了做题练习的目的,也有使用新学的数学物理知识的目的。所以题解里除了结论之外,更多的是用现在正感兴趣的知识或方法解题的说明。