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转型在30岁

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20多岁的时候，曾经为自己定下了一个30岁的所谓的人生目标。现在看来，自然是个笑话。就像20岁时，一想到上小学时的自己以为分数是天大的事一样。

自己一直以来用微分为比喻，坚持认为人生应该更看重“导数”：一个人当下的“位置”不重要，重要的是变化。每天每时都不断地进步，才是年轻人应该追求的。这个想法，大约是从明白什么是“导数”后不久就有了吧。到了今天，刚刚过了30岁的生日不久，忽然觉得是时候转型了。

人到30了，是时候从微分转到积分了。前30年的打拼，眼睛看到的都是向前，向上，更高，更强。上升得不算慢了，但回过头来看，却没有积累下什么。一路上，像所有的年轻人一样，不停地向前跑。得到不少，当然，也难免丢下一些什么。但毕竟总量是增加的，内心便也常是满足的。可这满足，终是见到了头。因为开始觉得自己一直是这世界里的匆匆过客，什么也没留下——即使是为自己。所以不禁要问，为什么呢？

30岁之前，拼命向前跑，那是因为相信速度，那是因为要与他人比，因为只有跑到前头，才觉得是成功。30岁了，不经意间看了一下周围，所以的人其实都差不多，工作，结婚，生子。从生活的角度而言，所有的人也都是有些基础了。是的，有些人还是更快一些，但很难将这种差别叫做成功。跑了，累了，也终于认识到一个人不可能一直跑下去的，个人的力量在这时，算是取到了最值了。于是，开始认识到另外一种力量，一种被年轻人忽视的力量，一种年轻人拥有得最多，却最被忽视的力量——时间。

仔细地想，越想越觉得，时间是一种极大力量。沧海桑田，大概是对这种自然伟力的最浪漫的形容。于是，作为一个人，如果把努力提升速度，变成努力在时间上做积累，那才真是人与人之间巨大差别的根源。年轻时，认为“坚持”是每天都修的功课。现在则认为，“坚持”贵在“坚守”和“持久”。只要对需要做的事情，做到不放弃，不荒废，假以时日，自己必会为之一惊的。

这就是我的转型，从微分的年轻人，到积分的青年人。

来自小学的“阴影”

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作者按：这是一个微博上转来的题。说是小学数学题，似乎不太可能。这里给算一算。和其他的问题一样，这道题主要是练习使用Maxima。另，本文章的标题是别有意思的。

题目：来自小学的“阴影”

一个正方形，两条曲线。一个是半圆弧，一个是1/4圆弧。求区域a的面积。

首先，先把图像转一下，方便建立坐标系。

为了描述方便，令a为正方形边长的一半。计算时先带着a，最后代入a = 10。

先输入下面半圆的方程。

(%i1) eq1: (x-a)^2+y^2=a^2;

(%o1) y^2+(x-a)^2=a^2

再输入1/4圆弧的方程。

(%i2) eq2: x^2+(y-2*a)^2=4*a^2;

(%o2) (y-2a)^2+x^2=4a^2

求两个圆弧的交点。

(%i3) solve([eq1, eq2], [x, y]);

(%o3) [[x=\frac{8a}{5}, y=\frac{4a}{5}], [x = 0, y = 0]]

阴影的面积是对半圆弧的积分，减去1/4圆弧曲线的积分。分别求两段曲线的表达式并积分。先求半圆弧的。

(%i4) solve(eq1, y);

(%o4) [y=-\sqrt{2ax-x^2}, y=\sqrt{2ax-x^2}]

显然，半圆弧位于x轴上方，所以，对第二个解积分。积分区间是[0, \frac{8a}{5}]。

(%i5) integrate(rhs(%[2]), x, 0, 8*a/5);
Is  a  positive, negative, or zero? pos;

(%o5) \frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}

下面求1/4圆弧的表达式。

(%i6) solve(eq2, y);

(%o6) [y=2a-\sqrt{4ax-x^2}, y=\sqrt{4ax-x^2}+2a]

显然，y是位于2a这条直线下方。所以，对第一个解积分。积分区间同上。

(%i7) integrate(rhs(%[1]), x, 0, 8*a/5);
Is  a  positive, negative, or zero? pos;

(%o7) -\frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}

现在求面积差，也就是阴影面积表达式。

(%i8) %o5 – %o7

(%o8) \frac{(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)a^2}{25}+\frac{(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)a^2}{50}+\frac{\pi a^2}{4}

把a=10代入。

(%i9) a:10;

(%o9) 10

(%i10) ''%o8;

(%o10) 4(50\arcsin(\frac{4}{5})-56)+2(25\arcsin(\frac{3}{5})+12)+25\pi

化简结果。

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 200\arcsin(\frac{4}{5})+50\arcsin(\frac{3}{5})+25\pi-200

上式就是计算结果，最后求其实数值。

(%i12) float(%);

(%o12) 96.17391537973153

上式和微博中给出的结果是一致的，只是出现了反三角函数，应该不是小学生能解出来的。所以最合理的答案，已经在最初的微博中给出。原图见下。

物理习题之 1

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问题 1：蜗牛相向行

三只小蜗牛所在的位置形成一个等边三角形，三角形的边长为60cm。第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min。在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标。经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬过了多长的路程？它们经过的路线可以用怎样的方程来描述？若将蜗牛视为质点，那么在它们相遇前，绕着它们的最终相遇点转了多少圈？

解答：这个题打算使用向量分析来做，因为最近在看微分几何的基础部分。当然，二维的向量分析如果使用标准的向量，便有点杀鸡焉用牛刀的感觉。根据题目的条件，显然坐标选择用极坐标为益，那么向量表示方法也自然用复数最方便。我们将需要用到的向量（用黑体表示）{\bf r} 和{\bf v}，画如下图。

首先，对于速度向量{\bf v} = \frac{d\bf r}{dt}有{\bf v}^2 = 25 。当然，如果考虑到是用复数表示的向量速度，那么{\bf v}^2 = {\bf v} \cdot {\bar{\bf v}}（\bar{\bf v}表示\bf v的共轭复数）。

如果用普通的r表示向量\bf r的径向长，那么关于其导数，有如下关系：

{\bf v} = \frac{d{\bf r}}{dt} = \frac{d(re^{i\theta})}{dt}=\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt}

其模的平方为常数：

{\bf v}^2=\frac{d(re^{i\theta})}{dt}\frac{d({r}e^{-i\theta})}{dt}=(\frac{dr}{dt}e^{i\theta}+ire^{i\theta}\frac{d\theta}{dt})(\frac{dr}{dt}e^{-i\theta}-ire^{-i\theta}\frac{d\theta}{dt})

即

\frac{dr^2}{dt^2}+r^2\frac{d\theta^2}{dt^2}={\bf v}^2=25

上式是一个数学上的结果，物理上其实非常简单，就是把速度分解成径向和切向两个方向，其向量和为速度。在本题中，为定值。

下面利用向量\bf v和\bf r的角度是定值这一条件：

{\bf v}\cdot{\bar{\bf r}}=(dre^{i\theta}+ire^{i\theta}d\theta)(re^{-i\theta})=rdr+ir^2\theta

两个向量的夹角为定值，暂记其为K：

\tan(\frac{5\pi}{6})=\frac{r^2\theta}{rdr}=\frac{rd\theta}{dr}=-\frac{\sqrt 3}{3}=K

代上式入模方一式，得dt和dr的关系式：

(1+K^2)\frac{dr^2}{dt^2}={\bf v}^2

注意$latex dr<0$，整理得：

dt=-\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}

最后，积分。r的初值为等边三角形的顶点到中心的距离R（记a为三角形边长）。

R=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a

现在求t：

t = \int^0_R -\frac{\sqrt{1+K^2}dr}{\sqrt{{\bf v}^2}}=\frac{\sqrt{1+K^2}}{\sqrt{{\bf v}^2}}[-r]^0_R=\frac{\sqrt{\frac{4}{3}}}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{2}{15}a=8

每个蜗牛爬过的路程为：5 \times 8 = 40cm。

根据固定夹角的方程，可以求出极坐标下的曲线方程。整理如下方程并积分。

d\theta=K\frac{dr}{r}

\theta=K\ln r + C

当\theta = 0时，r = R，因此：

\theta=K\ln {(r/R)}

整理成熟悉的形式：

r=Re^{-\sqrt{3}\theta}

由上面两式均可以得知，当蜗牛相遇时，已经转过无穷多的角度了。

物理习题

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《200道物理学难题》的封面

《200道物理学难题》的封面

手里有一本叫做《200道物理学难题》的书（豆瓣链接），一直没看几页。现在拿出来，做一做，也记一记。除了做题练习的目的，也有使用新学的数学物理知识的目的。所以题解里除了结论之外，更多的是用现在正感兴趣的知识或方法解题的说明。

2011年底回国行小记之一

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2011年底，和老婆回了趟北京，这是两年多以来，第一次回国。要不是行程安排紧张，肯定是颇多感慨。现在看来，可记之事，说多可多，说少也可少。

过去的两年多，发生了很多事情。最重要的，大约是人到30却依然迷茫。在各种迷茫中，最颠覆性的是对过去这30年的一个整体的看法：成功的，还是失败的。自然，这样的命题是很难给出一个确定的答案的，但对“失败”的认识，确是极大的不同了。也正因此，才意识到一个特别的境界，它叫“宽容”。

是的，宽容是一种境界，一种必是真心努力才能体会并到达的境界。通常我们会把“宽容”理解为“容忍”。其实这个“忍”字说明了它们的区别：宽容是自发的，平和的，无需忍耐的。不少时间里，我一直觉得自己的前30年，从某种程度上来看，也算是成功的。只是不久前才意识到，这“成功”是以身边每个人的“宽容”为基础的。一直以来，竟然觉得自己的今天，主要是个人努力的结果。这样无知，怎么也是一种真正意义上的失败了。

头几次来美国的时候，只是觉得美国人都热情。他们主动和你说话，即使不认识的人，路过时也向你问好。刚定居在这里的时候，觉得去哪里都是别人热情的接待。即使是在普通得不能再普通的餐馆，也是一样。起先，只是觉得大约国情如此。后来发现，这是基于美国文化中对个人的认可和宽容。之所以要宽容，就是因为这个文化把人当作活生生的人。他们相信人无完人，所以人都会犯错误。对人宽容，实际上是对人性的宽容。这也是为什么我会一直觉得在美国生活和工作，让人感到难得的自由。

也许正是因为想到这些，此次回国之旅，也处处都以宽容为要。在此之前，我也以是否对服务人员，特别是餐馆服务人员发脾气来衡量自己。显然，此前都是失败的。后来，到了美国，又觉得是美国人热情，做事周到，我才从不用担心自己会生气，甚至发脾气。但这次回国前，我的想法改变了。我觉得那只是因为自己对别人是容忍的，不是宽容的。既然我可以对美国人和颜悦色，为什么不能对自己的同胞更加宽容呢？可喜的是：这次回国，我做到了。我没有和任何服务人员动怒，包括餐馆的工作人员。

有意思的是，我又觉得是国内的服务人员的水平提高了，他们似乎不再做任何让我不悦的事情，于是才有这样的结果的。不管是不是真的如此，此次回国之行，是我实践“宽容”之行，结果也是令我满意的。